🔌 Électricité · Partie 3

Circuits RLC, filtres, transformateur monophasé, systèmes triphasés et premières bases de l'électronique (diodes, transistors)

⚡ Régime transitoire RLC 🎛️ Filtres passifs 🔄 Transformateur 🔺 Triphasé 💡 Électronique

1. Circuit RLC série – régime transitoire

Un circuit composé d'une résistance \(R\), d'une inductance \(L\) et d'un condensateur \(C\) obéit à l'équation différentielle du second ordre :

\[ L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = u(t) \quad \text{ou} \quad LC\frac{d^2u_C}{dt^2} + RC\frac{du_C}{dt} + u_C = u_e(t) \]

Le comportement dépend du facteur d'amortissement :

Régime apériodique : \( R > 2\sqrt{L/C} \) → retour à l'équilibre sans oscillation.
Régime critique : \( R = 2\sqrt{L/C} \) → retour le plus rapide sans oscillation.
Régime pseudo-périodique : \( R < 2\sqrt{L/C} \) → oscillations amorties.

📌 Pulsation propre : \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), facteur de qualité \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\).

2. Filtres électriques passifs (RC, RL, RLC)

Un filtre modifie l'amplitude des signaux en fonction de la fréquence. Fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{U_{sortie}}{U_{entrée}}\).

📉 Passe-bas RC
\(H = \frac{1}{1+jRC\omega}\)
Fréquence de coupure \(f_c = \frac{1}{2\pi RC}\)

📈 Passe-haut RC
\(H = \frac{jRC\omega}{1+jRC\omega}\)
\(f_c = \frac{1}{2\pi RC}\)

🎼 Passe-bande RLC
\(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)
Bande passante \(\Delta f = \frac{f_0}{Q}\)

🚫 Coupe-bande
Rejette une fréquence spécifique (ex : filtre en T).

\[ \text{Gain (dB)} = 20\log_{10}|H| \quad ; \quad \text{Déphasage} = \arg(H) \]

3. Transformateur électrique (principe)

Dispositif à noyau magnétique permettant de modifier les tensions et courants alternatifs. Rapport de transformation :

\[ \frac{U_1}{U_2} = \frac{N_1}{N_2} = m \quad \text{et} \quad \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} \quad (\text{transformateur parfait}) \]

\(N_1, N_2\) : nombres de spires au primaire et secondaire.
Puissance apparente : \(S = U_1 I_1 = U_2 I_2\) (en VA).
Transformateur idéal : pertes nulles ; réel : pertes fer (hystérésis) + pertes cuivre (effet Joule).

┌───┐ (N1 spires) ┌───┐ │ ║≈≈≈≈≈≈≈≈≈║ │ │ U1 ║ noyau ║ U2 │ │ ║≈≈≈≈≈≈≈≈≈║ │ └───┘ └───┘

4. Introduction aux réseaux triphasés

Trois tensions sinusoïdales déphasées de \(120^\circ\) (2π/3 rad). Utilisé pour le transport et la distribution d'énergie.

\[ u_1(t) = U_{max}\sin(\omega t), \quad u_2(t) = U_{max}\sin(\omega t - 120^\circ), \quad u_3(t) = U_{max}\sin(\omega t - 240^\circ) \]

Couplage étoile (Y) : tension simple \(V\) / tension composée \(U = \sqrt{3}V\).

Couplage triangle (Δ) : \(U = V\). Puissance active totale : \(P = \sqrt{3} U I \cos\varphi\).

⚡ Avantages du triphasé : puissance constante, meilleur rendement des moteurs, économie de cuivre.

5. Premiers pas en électronique : la diode à jonction

Composant non linéaire qui ne laisse passer le courant que dans un sens (anode → cathode).

Caractéristique idéale : passante (\(U_{seuil} \approx 0,6V\) pour silicium) → diode passante si \(U_{AK} > 0,6V\).

Redressement simple alternance : diode + charge résistive.
Redressement double alternance (pont de Graetz) : 4 diodes.
Applications : alimentations, protections, détection d'enveloppe.

Schéma pont redresseur : ~AC ┌─diode1─┬─diode2─┐ │ │ │ └─diode3─┴─diode4─┘ → sortie DC

6. Transistor bipolaire (BJT) : interrupteur et amplification

Trois couches semi-conductrices : Émetteur (E), Base (B), Collecteur (C). Types NPN et PNP.

\[ I_C = \beta \cdot I_B \quad (\beta \text{ gain statique, typ. 50 à 300}) \]

Régimes de fonctionnement :

Bloqué : \(I_B=0\) → transistor équivalent à un interrupteur ouvert.
Saturé : \(I_B\) suffisant → interrupteur fermé (faible \(V_{CE}\)).
Linéaire (actif) : amplification de signaux analogiques.

💡 Exemple : un signal faible sur la base commande un courant plus important dans le collecteur → amplification de puissance.

7. Applications concrètes

🔊 Amplificateur audio à transistor

💡 Alimentation à découpage (filtres + redressement + régulation)

📡 Détecteur d'enveloppe (radio AM)

⚙️ Variateur de lumière (gradateur à thyristor)

8. Exercices (RLC, filtre, transfo, triphasé, diode)

📉 Exercice 1 – Circuit RLC série
On prend \(L = 100\,\text{mH}\), \(C = 10\,\mu\text{F}\), \(R = 50\,\Omega\). Calculer \(\omega_0\), \(Q\) et dire le régime.

Corrigé :
\(\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 1/\sqrt{0,1 \times 10\times10^{-6}} = 1/\sqrt{1\times10^{-6}} = 1000\,\text{rad/s}\).
\(Q = \frac{1}{R}\sqrt{L/C} = \frac{1}{50}\sqrt{0,1 / (10\times10^{-6})} = \frac{1}{50}\sqrt{10000} = \frac{100}{50}=2\).
\(R < 2\sqrt{L/C}\) ? \(2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{10^4}=200\,\Omega\) → 50 < 200 → régime pseudo-périodique.

🎛️ Exercice 2 – Filtre passe-bas RC
R = 1 kΩ, C = 100 nF. Calculer \(f_c\) et l'atténuation (dB) à 10 kHz.

\(f_c = \frac{1}{2\pi RC} = \frac{1}{2\pi \times 1000 \times 100\times10^{-9}} \approx 1591,5\,\text{Hz}\).
À 10 kHz, \(f/f_c \approx 6,283\), gain = \(1/\sqrt{1+(f/f_c)^2} \approx 1/6,36 \approx 0,157\) → gain (dB) = \(20\log_{10}(0,157) \approx -16,1\,\text{dB}\).

🔄 Exercice 3 – Transformateur monophasé
Un transformateur 230V / 24V, 50 VA. Calculer le rapport de transformation et les courants nominaux primaire/secondaire (parfait).

\(m = \frac{U_1}{U_2} = \frac{230}{24} \approx 9,583\).
Courant secondaire \(I_2 = S/U_2 = 50/24 \approx 2,083\,\text{A}\).
Courant primaire \(I_1 = S/U_1 = 50/230 \approx 0,217\,\text{A}\).

🔺 Exercice 4 – Système triphasé équilibré
Un moteur triphasé absorbe 10 A sous 400 V avec cosφ = 0,85. Calculer la puissance active et réactive.

\(P = \sqrt{3} U I \cos\varphi = 1,732 \times 400 \times 10 \times 0,85 \approx 5888\,\text{W}\) soit 5,89 kW.
\(Q = \sqrt{3} U I \sin\varphi\) avec \(\sin\varphi = \sqrt{1-0,85^2} \approx 0,527\) → \(Q \approx 1,732\times400\times10\times0,527 \approx 3650\,\text{VAR}\).

💡 Exercice 5 – Redressement simple alternance
Soit une tension sinusoïdale 12 V efficace, 50 Hz aux bornes d'une diode idéale (seuil nul) en série avec une résistance 100 Ω. Tracer la forme d'onde et calculer la valeur moyenne de la tension aux bornes de la résistance.

Tension crête \(U_{max} = 12\sqrt{2} \approx 16,97\,\text{V}\).
Redressement simple alternance : \(U_{moy} = \frac{U_{max}}{\pi} \approx 5,4\,\text{V}\). Courant moyen = 5,4/100 = 54 mA.

9. Tableau mémo – filtres passifs et transformateur

Filtre	Schéma type	Fréquence de coupure / résonance	Pente (dB/décade)
Passe-bas RC	R série, C parallèle sortie	\(1/(2\pi RC)\)	-20 dB/déc
Passe-haut RC	C série, R parallèle sortie	\(1/(2\pi RC)\)	+20 dB/déc
Passe-bande RLC	RLC série (tension sur R)	\(1/(2\pi\sqrt{LC})\)	±20 dB/déc
Transformateur	noyau magnétique + spires	Rapport \(m=N1/N2\)	Transfert puissance quasi constant

🧠 Ce que tu maîtrises désormais : Les régimes transitoires complets, l'analyse fréquentielle (filtres), le transformateur, les bases du triphasé et de l'électronique discrète. Ce socle te permet d'aborder l'électronique de puissance, les systèmes automatisés ou l'électrotechnique.